数学在19世纪已经发展成独立的学科。到了19世纪下半叶，随着不断从实际中获取营养以及自身的蓬勃发展，数学本身积累了大量丰富的资料（成果、方法和理论等），在繁荣的同时，也留下了众多没有解决的难题。在这种变革与积累的基础上，20世纪以来的数学呈现出指数式的飞速发展。随着经典数学的繁荣和统一、许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面都得到了空前的拓展。 数学在发展的过程中，一直从实践中汲取着丰富的营养。在第二次世界大战以前，数学已经跨越自我，在相关学科（如相对论、量子物理、理论物理、弹性力学、流体力学、数理经济学等）中得到了应用，并取得了前所未有的成就。但当时数学对工程技术的应用往往只起着间接的作用，即首先应用于其他学科，再由这些学科提供技术进步的基础。而自第二次世界大战以来，由于经济以及其他科学技术都有了空前的发展，出现了一大批需要数学提供决策性结论的新型实际问题。例如，大批量生产的质量控制和检验问题、生产的方案与配方问题、可靠性问题、大型的调度问题、通讯中抗干扰和从微弱信号中提取信息的问题、编码问题以及后来出现的信息压缩问题、远程控制问题等等，这些问题形成了新的数学应用的推动力。随着数学自身的蓬勃发展，它所积累的丰富理论、方法提供了描述实际现象（建立模型）的有力工具和研究模型方法的雄厚基础。这两方面的结合，形成了一批带有新特点的独立的应用数学，如数理统计、运筹学、信息论、控制论等。 大批的数学应用问题要求提供决策性结论，一般要求算出数值解，这在过去往往存在着计算上难以逾越的困难，因而在实际中只好简化计算，有时甚至使原来的问题变得面目全非，或者放弃用计算方法解决问题的途径，而改用模型的方法，这样会牺牲精确性。但是在第二次世界大战中需要解决的那些问题，却离不开高度的精确性或大规模的计算。电子计算机就是在这种历史性的要求下发明和研制出来的。电子计算机的出现，它的大容量存储、高速度计算使得扫除计算障碍在技术上成为可能。这些因素的综合作用使得自然科学和社会科学中到处有数学的惊人应用。 今日的数学，已不甘于站在后台，而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台。现代数学不单只是通过别的科学间接地起作用了，它已经直接进入科技的前沿，直接参与创造生产价值——数学已经走到前线了。现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，渗透到了与人类生存息息相关的各个领域，成为一个国家综合国力的重要组成部分。国家的繁荣昌盛，关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率，而高新科技的基础是应用科学，应用科学的基础则是数学，数学对国家的建设和发展具有巨大的作用。对此，我国著名数学家王梓坤院士指出：“由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术两种品质，这是其他学科所少有的。” 以往数学界将证明定理作为数学研究的主要目标（至少纯数学是这样）。随着现代数学的发展，数学既广泛与各门自然科学相渗透，又与计算机结合直接应用于高技术，这就使得建立模型日渐成为数学的主要目标之一。当人们面对纷繁复杂的科学技术和社会现象时，数学可以通过建立模型、分析和求解、计算乃至形成软件等一系列方法来帮助我们把握客观世界。所以，在美国国家研究会《人人关心数学教育的未来——关于数学教育的未来致国民的一份报告》中有了“数学是关于模式和秩序的科学”的提法，1994～1998任世界数学联盟主席的D.Mumford在1998年论述现代数学的趋势时说：“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想，承认这一点，数学将会从中收益。” 二、经典数学得到了蓬勃发展，形成了许多新成果和新思想。
19世纪下半叶，数学的蓬勃发展和众多没有解决的难题促成了20世纪上半叶以来对数学所进行的系统整理，即以集合论为基础、公理化为方法将数学分门别类地整理成不同学科，各学科以公理化方法将原有材料系统化、一般化。集合论观点与公理化方法将数学的发展引向了高度抽象的道路。结合数学对各个学科中重要问题的研究，使得原有的许多学科（如代数学、拓扑学、函数论、泛函分析等）在新的基础上得到了更大的发展。同时，对数学基础问题的探讨也促使了一些新的数学学科（如数理逻辑、公理化集合论等）的形成，人们逐渐认识到在数学中有一些基本结构：代数结构、拓扑结构、序结构以及后来认识到的测度结构，这些结构的相互影响和渗透使得数学的很多学科得到长足的发展，并形成一些新的学科（如概率论、随机过程、微分几何、微分方程、代数几何、多复变函数论等）。即使是一些与公理化进程关系不大的数学分支（如解析数论）也得到巨大的发展。在20世纪中，有些历时几百年的著名数学难题（如费马大定理、四色问题）得到了解决，尤其令人们意想不到的是，数理逻辑竟成为发明现代电子计算机的先导。 计算机的出现不仅使数学比以往任何时候都更具威力，同时也极大地改变了数学科学自身的某些特点。一方面，计算机进入数学领域，使一些以前不大受重视的数学理论重放光彩，促进了计算数学、数学模型、离散数学、数理逻辑等许多数学分支的发展，并开发了许多边缘科学（如人工智能、图像识别、机器证明、数据处理等）；计算机开拓了一系列数学研究的新领域和新课题，改变了数学各分支之间的平衡，也促进了数学内部的统一；计算机为数学发现和证明提供了新工具。如M.Atiyah所说，计算机正在数学家工作的所有阶段，特别是在探索和实验阶段，提供着十分实际和有效的帮助。随着数学向纵深的发展，所遇到的原始素材也相应地会变得更加凌乱和复杂。正是计算机可以帮助我们筛选这些素材并为我们指出进一步理解和前进的道路。 另一方面，正如计算机给数学提供了新的机会一样，数学也使计算机越来越具有了不可思议的威力。数学为解释自然现象提供了构造模型的方法，也开发出运用计算机语言实现这些模型的算法，极大地提高了计算机处理问题的功能。事实上，计算机本身以及计算机的进一步开发、改进和应用都离不开数学。
综上所述，计算机和数学形成了一个紧密相关的系统，正是这个系统产生了以前不可能出现的新结果和以前难以想像的新思想。 三、数学研究的方式发生了变化，“做数学”的过程更加凸显
人们对数学研究方法的描绘往往主要集中于利用纸、笔进行运算和证明，很难体会观察、实验、尝试、猜测等活动对数学的作用，其实这些也是数学研究的重要方式。数学讲究严谨和逻辑，更需要探索和创造。特别是计算机的出现，向数学家提供了探索模式和检验猜想的强有力的工具，使数学家的研究方式开始发生变化。实际上，计算机提供了进行多次试验计算的可能性，为数学研究提供了有力的“实验工具”。W.Brown在谈到数学研究成果的表现形式时形象地指出，在过去，一项数学研究的成果总是一篇关于命题的证明或反驳的科学论文，现在它却可以包含一些色彩鲜艳的图案和一声充满快乐的惊呼：“看，我发现了什么!”
由于计算机与数学的结合，使得实验、试误、模拟、猜测、调控等已经成为当今数学家研究数学，特别是应用数学的重要方式，伴随着数学实践活动和数学实验的加强，一个基本的“做数学”的过程日益清晰，许多数学家和数学教育家都以不同的措辞描述了这一过程。著名的“美国2061计划第一阶段数学专家小组报告”中提到：我们看到了一个基本的数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的形式——抽象、符号变换和应用。这种循环不只出现在普通实验和数学实验的交界处，而且也在数学王国内部多次重复，导致了该学科更高水平的概括性，从而使它可以具有更强的效能。H.Freudenthal将这一过程称之为数学化，即数学地组织现实世界的过程。在这个“做数学”的过程中，不仅有计算或演绎，而且涉及观察、猜测、尝试、调控、估计、检验等多种方式。 20世纪中叶以来纯粹数学的发展依然强劲，费马定理的证明轰动世界，哥德巴赫猜想正以百万美元的悬赏征求解决，法兰西科学院的7位数学家提出了新千年的七个数学问题，与100年前希尔伯特的23个数学问题遥相呼应。与此同时，数学家正在运用数学和计算机技术解决各色各样的实际问题，数学与社会的联系更加直接，对社会的发展产生着越来越大的影响。著名数学家Phillip A.Griffiths对20世纪的数学发展表达了如下的看法：“20世纪是数学的黄金时代，许多重大而长期没有答案的问题终于得到了解决。究其成功的原因，大多是由于我们对各个分支之间复杂的相互影响及作用有了日益增长的理解，那些相互关联不断扩大和深化，从而数学开始跨越自我来探索与其他科学领域之间的相互作用了。这些涉及数学各种领域之间的及数学与其他科学领域之间的相互作用，已经导致了一些伟大深刻见解的产生，也导致了数学领域在广度和深度上进一步扩大。” 总而言之，数学的广泛应用使得数学自身已经成为现代社会中一种普遍适用的技术，人们通过数学收集、整理、描述信息，建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值；数学不仅帮助人们更好地探求客观世界的规律，同时为人与人之间的交流提供了一种有效、简捷的手段；数学在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用，这一过程除了逻辑和证明外，充满着探索与创造。数学的上述特征应该在《标准》中得以体现，数学课程应该体现数学刻画现实世界的过程和全貌，使学生体会数学与现实世界和人类进步的密切联系；应该使学生体会数学研究的基本方法：观察、试验、收集信息、猜测、验证、证明、反思、调控……这些方法的熏陶，将使人终生受益。
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